Математика. 9-11 классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности: основные методы и приемы

Подробное описание

Введение

За последние годы в процессе проведения ЕГЭ наметилась тенденция к усложнению задач высокого уровня сложности, которые фигурируют в третьей части пакета заданий под номерами С3–С5. Одновременно увеличилась и значимость успешности решения этих заданий. Достаточно сказать, что при их верном решении сумма баллов может увеличиться сразу на 25 пунктов! (Результаты ЕГЭ 2008 г.)

До сих пор значительная часть как учеников, так и учителей искренне недоумевают, зачем включают эти суперзадачи в пакет заданий ЕГЭ по математике? Эти задания носят конкурсный характер в масштабе всей России, так как результаты ЕГЭ по новому федеральному закону теперь являются определяющими для отбора во все российские вузы. Поэтому включение по-добных задач вполне оправданно. Другое дело, что без целенаправленной подготовки к решению этих заданий получение
90 баллов и более абсолютно невозможно, даже если учитывать фактор везения.

В чем же должна выражаться целенаправленная подготовка к успешному выполнению этой категории заданий? Учителя
и учащиеся должны познакомиться для начала с типовыми задачами на моделирование, связанное с исследованием целевой функции на минимум или максимум, на комбинацию многогранников и тел вращения, на решение уравнений или неравенств с параметрами, требующее привлечения функционально-графических приемов анализа; на исследование функциональных свойств систем уравнений. Далее необходимо уяснить, какие методы используются при решении той или иной типовой задачи. Как правило, это не частные приемы, а достаточно общие способы действий.

Необходимо предостеречь от практики бессистемного «натаскивания» по принципу – чем больше задач, тем лучше. К сожалению, следует отметить, что времена, когда достаточно было проштудировать популярный сборник конкурсных задач под редакцией Сканави, безвозвратно ушли. Как ни странно, но и сборники заданий для поступления в Московский университет (или СПбГУ, НГУ, МВТУ, МФТИ и др.) тоже не принесут большой пользы, так как в составлении заданий ЕГЭ по математике задействована совершенно другая команда, состоящая в основном из преподавателей московских педагогических вузов.

Самым лучшим источником являются сборники материалов ЕГЭ по математике, которые выпускают Федеральный центр тестирования [1–4] и Федеральный институт педагогических измерений [6]. К сожалению, эти материалы выпускаются с решениями только для одного варианта из десяти, что явно недостаточно. Мы постарались восполнить этот пробел. Кроме того, было обращено особое внимание на методическую часть решений заданий ЕГЭ высокого уровня сложности.

Задачи приводятся в каждом разделе в хронологическом порядке с 2004 по 2008 г. Тематика задач соответственно несколько меняется. В заданиях группы С3 сначала следуют задачи
на исследование функций, а в последние два года – задачи
с параметрами, которые также связаны с функциональной тематикой. Тематика заданий группы С4 практически постоянна – это задачи на комбинацию или двух многогранников, или одного многогранника с телом вращения. Самая трудная группа заданий – С5 – до 2006 года была представлена задачами с параметрами, а в последние два года в связи с переводом этой темы
в группу С3 здесь присутствуют задачи, связанные с системами нестандартных уравнений, которые требуют привлечения приемов исследования функций.

Содержание

Введение

1. Задания ЕГЭ по математике  типа С3 высокого уровня сложности    

Задача 1.1. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 1.2. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 1.3. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 1.4. (Июньский ЕГЭ 2005 [2])    

Задача 1.5. (Июньский ЕГЭ 2005 [2])    

Задача 1.6. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [3])    

Задача 1.7. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [3])    

Задача 1.8. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [3])    

Задача 1.9. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [3])    

Задача 1.10. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [3])    

Задача 1.11. (Июньский ЕГЭ 2006 [5])    

Задача 1.12. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 1.13. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 1.14. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 1.15. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 1.16. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 1.17. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2007)    

Задача 1.18. (Июньский ЕГЭ 2007 [6])    

Задача 1.19. (Июльский ЕГЭ 2007)    

Задача 1.20. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.21. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.22. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.23. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.24. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.25. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.26. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.27. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.28. (Тренировочный вариант ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 1.29. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 [6])    

Задача 1.30. (Июньский ЕГЭ 2008)    

2. Задания ЕГЭ по математике типа С4 высокого уровня сложности    

Задача 2.1. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 2.2. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 2.3. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 2.4. (Июньский ЕГЭ 2005)    

Задача 2.5. (Июльский ЕГЭ 2005)    

Задача 2.6. (Июльский ЕГЭ 2005)    

Задача 2.7. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.8. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.9. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.10. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.11. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.12. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.13. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.14. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.15. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.16. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 2.17. (Июньский ЕГЭ 2006 [5])    

Задача 2.18. (Июньский ЕГЭ 2006 [5])    

Задача 2.19. (Июльский ЕГЭ 2006)    

Задача 2.20. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.21. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.22. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.23. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.24. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.25. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.26. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.27. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.28. (Июньский ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 2.29. (Июльский ЕГЭ 2007)    

Задача 2.30. (Июльский ЕГЭ 2007)    

Задача 2.31. (Июльский ЕГЭ 2007)    

Задача 2.32. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.33. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.34. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.35. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.36. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.37. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.38. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.39. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.40. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 2.41. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 [6])    

Задача 2.42. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 [6])    

Задача 2.43. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 [6])    

Задача 2.44. (Июньский ЕГЭ 2008)    

Задача 2.45. (Июньский ЕГЭ 2008)    

3. Задания ЕГЭ по математике типа С5 высокого уровня сложности    

Задача 3.1. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 3.2. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 3.3. (Июньский ЕГЭ 2004 [1])    

Задача 3.4. (Июльский ЕГЭ 2004)    

Задача 3.5. (Июльский ЕГЭ 2004)    

Задача 3.6. (Июньский ЕГЭ 2005 [2])    

Задача 3.7. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.8. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.9. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.10. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.11. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.12. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.13. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.14. (Тренировочный ЕГЭ 2006 [2])    

Задача 3.15. (Июньский ЕГЭ 2006 [5])    

Задача 3.16. (Июньский ЕГЭ 2006 [5])    

Задача 3.17. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.18. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.19. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.20. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.21. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.22. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.23. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.24. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.25. (Тренировочный ЕГЭ 2007 [3])    

Задача 3.26. (Июньский ЕГЭ 2007 [6])    

Задача 3.27. (Июльский ЕГЭ 2007)    

Задача 3.28. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.29. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.30. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.31. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.32. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.33. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.34. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.35. (Тренировочный ЕГЭ 2008 [4])    

Задача 3.36. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2008 [6])    

Задача 3.37. (Июньский ЕГЭ 2008)    

Задача 3.38. (Июньский ЕГЭ 2008)    

Литература