Математика. 9 класс. Решение задач повышенной сложности. Программа для установки через Интернет

§ 4. Текстовые задачи

§ 4. Текстовые задачи

(101) Текстовые задачи. № 1.

Трехзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру перенести в конец числа, то получится число, составляющее от исходного. Найдите исходное число.

(102) Текстовые задачи. № 2.

Математик купил картошки и по дороге домой выполнил вычисления: он умножил целую часть цены 1 кг картошки на целую часть массы купленной картошки и получил 24. Потом он умножил целую часть цены на дробную часть массы и получил 1, 2. Наконец, он умножил дробную часть цены на целую часть массы и получил 2. Определите стоимость купленной картошки. Целая часть числа х есть наибольшее целое число, не превосходящее х, ее обозначают: [х]. Дробная часть числа х есть разность между числом и его целой частью, ее обозначают: {х} [5] = 5; [3,4] = 3; {5} = 0; {3,4} = 0,4.

(103) Текстовые задачи. № 3.

Определите год рождения тех людей, которым в 2003 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр года их рождения.

(104) Текстовые задачи. № 4.

У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, равных их возрасту, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям?

(105) Текстовые задачи. № 5.

В контейнер упаковывают изделия двух видов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 р. и 12 кг для первого типа и 600 р. и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен 321 кг. Определите максимальную и минимальную возможную суммарную стоимость изделий, находящихся в контейнере.

(106) Текстовые задачи. № 6.

На заводе рабочий пятого разряда изготовляет за 1 час целое количество деталей, больше 5, а рабочий третьего разряда на 2 детали меньше. На выполнение заказа рабочему пятого разряда требуется целое количество часов, а двум рабочим третьего – на 1 час меньше. Какое количество деталей составляет заказ?

(107) Текстовые задачи. № 7.

Два маляра, работая вместе, могут покрасить забор за 3 ч. Производительности труда первого и второго относятся как 3 : 5. Маляры стали работать по очереди. За сколько часов они покрасят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот покрасит половину забора?

(108) Текстовые задачи. № 8.

Возраст одного человека в 1990 году был равен произведению цифр его года рождения. В каком году он родился, если известно, что ему меньше 90 лет.

(109) Текстовые задачи. № 9.

Двое рабочих могут напилить за день 5 поленец дров, а наколоть 8 поленец. Сколько поленец дров они должны напилить, чтобы успеть наколоть их в тот же день.

(110) Текстовые задачи. № 10.

В бассейн проведены две системы труб равной производительности. В I системе первая труба наполняет весь бассейн за t1, вторая за t2, … n-я за tn. Во второй системе труб все трубы одинаковы и их тоже n штук. За какое время труба второй системы заполнит весь бассейн?

(111) Текстовые задачи. № 11.

Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в четыре раза больше скорости течения реки?

(112) Текстовые задачи. № 12.

Бикфордов шнур горит неравномерно, сгорая за 1 минуту. Как, имея два таких совершенно одинаковых шнура, измерить время 45 секунд?

(113) Текстовые задачи. № 13.

Из пункта А реки одновременно поплыли: мяч по течению реки и спортсмен против течения. Через 10 минут пловец повернул назад и догнал мяч в 1 км от А. Собственная скорость пловца постоянна. Какова скорость течения реки?

(114) Текстовые задачи. № 14.

Пройдя длины моста АВ, человек услышал гудок автомобиля, приближающегося к месту с постоянной скоростью 60 км/ч. Если он побежит назад, то встретится с автомобилем в А, а если побежит вперед, то автомобиль нагонит его в В. Как быстро бегает этот человек?

Указания, решения, ответы

Указания, решения, ответы

(161) Прогрессии. № 1.

Найдем сумму чисел от 1 до 1000, делящихся на 7. Получаем арифметическую прогрессию 7, 14, 21, …, 994, разность которой будет d = 7. Определим номер последнего члена.

7 + (n – 1) ∙ 7 = 994, 1 + n – 1 = 142, n = 142. Пусть S1 – сумма членов этой прогрессии. S1 = ∙ 142 = 1001 ∙ 71.

Найдем сумму чисел от 1 до 1000, делящихся на 7 и на 13. Получаем арифметическую прогрессию 91, 182, …, 910.

91 + (n – 1) ∙ 91 = 910, 1 + n – 1 = 10, n = 10. Пусть S2 – сумма членов второй прогрессии. S2 = ∙ 10 = 1001 ∙ 5.

S – сумма чисел от 1 до 1000, делящихся на 7 и не делящихся на 13. S = S1 – S2 = 1001 ∙ (71 – 5) = 1001 ∙ 66 = 66066.

Ответ: 66066.

(162) Прогрессии. № 2.

Пусть f(x) = . Вычислите сумму f(0) + f + f +
+ … + f + f(1). Объединим числа в пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее. Одно число f останется без пары. Докажем, что сумма чисел каждой пары равна 1. Обозначим 4b = Z.

f(b) + f(1 – b) = =
= = 1.

Всего получили 988 пар чисел, сумма чисел каждой пары равна 1. В середине остается последнее слагаемое, у которого не оказалось пары: f = 0,5. Тогда общая сумма равна 988,5.

Ответ: 988,5.

(163) Прогрессии. № 3.

Рассмотрим последовательность

g(n) = .

g(1) = ,

g(2) = .

Докажем, что g(n + 2) = g(n + 1) + g(n), то есть g(n + 2) – g(n + 1) =
= g(n).

g(n + 2) – g(n + 1) =

= = g(n).

g(n) = , является формулой общего члена знаменитого ряда Фибоначчи, то есть такой числовой последовательности, в которой а1 = 1, а2 = 1, а каждый член числовой последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… .

Получаем, что f(1) = f(2) = b, f(3) = 2b, f(4) = 3b, …

Чтобы выражение принимало целые значения при всех натуральных значениях n, необходимо выбрать b = k, где k О Z.

Ответ: b = k, где k О Z.

(164) Прогрессии. № 4.

–4d = 20, d = –5; a1 – 10 = 13, a1 = 23.

Sn = n.

§ 5. Неравенства

§ 5. Неравенства

(136) Неравенства. № 1.

Найдите все значения х, при которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = и g(x) = 6 меньше, чем 0,7.

(137) Неравенства. № 2.

Определите, сколько целочисленных решений имеет неравенство (n2 – 1)(n2 – 11)(n2 – 101)(n2 – 1001) < 0.

(138) Неравенства. № 3.

Найдите сумму натуральных решений неравенства 0.

(139) Неравенства. № 4.

Про число k известно, что > 0 и < 0. Выясните, можно ли определить по этим данным знак числа k, и, если возможно, найдите этот знак.

(140) Неравенства. № 5.

Решите неравенство: |x2 – 5x| < 6.

(141) Неравенства. № 6.

Докажите, что для любого числа t выполняется неравенство t4 – t +
+ > 0.

(142) Неравенства. № 7.

Без использования калькулятора докажите, что 21995 > 5854.

(143) Неравенства. № 8.

Числа а, b, c удовлетворяют неравенству (a + b + c) c < 0. Докажите, что b² > 4ac.

(144) Неравенства. № 9.

Докажите, что для a > 0, b > 0, c > 0 справедливо неравенство a4 +
+ b4 + c2 ≥ 2abc.

(145) Неравенства. № 10.

Найдите площадь фигуры, координаты точек которой являются решениями системы неравенств:

(146) Неравенства. № 11.

Изобразите множества, заданные неравенством .

(147) Неравенства. № 12.

Докажите, что для а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство .

(148) Неравенства. № 13.

Найдите наибольшее значение функции y = , где a > 0, b > 0, c > 0.

(149) Неравенства. № 14.

Докажите, что при x > 0 и y > 0 выполняется неравенство .

(150) Неравенства. № 15.

Решите неравенство: x2 – 3,5x + 4 + tg2x ≤ 1/cos2x.

(151) Неравенства. № 16.

Докажите неравенство: , если a > 0, b > 0, c > 0.

(152) Неравенства. № 17.

Решите неравенство: > x – 1.

(153) Неравенства. № 18.

Решите неравенство: < 3 – x.

(154) Неравенства. № 19.

Решите неравенство: |x2 – 2x| < x.

Указания, решения, ответы

Указания, решения, ответы

(136) Неравенства. № 1.

По условию задачи составим неравенство < 0,7,

< 0,7, < 0,7, < 0,7.

Получили И (2; +∞).

Получили .

Найдем решение системы:

Получили .

Ответ: .

(137) Неравенства. № 2.

Решим неравенство методом интервалов.

f(n) = (n2 – 1)(n2 – 11)(n2 – 101)(n2 – 1001).

f(n) = 0 при n = –, n = –, n = –, n = –1, n = 1, n = , n = , n = .

Получили ±2, ±3, ±11, ±12, …, ±31. 23 ∙ 2 = 46.

Ответ: 46.

(138) Неравенства. № 3.

Умножим обе части данного неравенства на –1: ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов:

1) Обозначим f(x) = .

2) Найдем D(f). x2 № 9, x № –3, x № 3,

D(f) = (–∞; –3) И (–3; 3) И (3; +∞).

3) Определим, где f(x) = 0.

|x + 2| = |x|

x + 2 = x или x + 2 = –x,

2 = 0 2х = –2 ,

ложно х = –1.

4)

f(4) = > 0.

5) Значит, ≤ 0 на (–∞; –3) И [–1; 3).

Сумма натуральных решений будет 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

От автора

ОТ АВТОРА

Замечательно сказал основоположник русской науки Михаил Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Решить сложную, оригинальную, нестандартную задачу – огромнейшее интеллектуальное наслаждение для любого человека. Оригинальные находки, нестандартные подходы, изобретательные выходы из трудных положений являются мощнейшим катализатором интеллектуального развития растущего человека. Радость от достижений в интеллектуальной области – одна из величайших радостей человеческого духа. Через толщу веков, как огненный факел первооткрывателей, к нам пробился звонкий девиз ищущих, эмоциональный порыв победителей, гордый человеческий возглас: «Эврика! Я нашёл!». Его гордо и радостно произнес Архимед в минуту высочайшего интеллектуального напряжения, в минуту великого открытия, в минуту славной победы человека над незнанием.

Математика даёт уникальнейшую возможность воспитывать смекалку, сообразительность, находчивость, настойчивость, оригинальность решения, она будит мысли и призывает к точности и обоснованности рассуждений. Запомнились замечательные слова о молодом математике Эваристе Галуа: «Он читал страницу за страницей, и пред ним простое и прекрасное, как греческий храм, вставало здание геометрии. Вскоре всё окружающее: звуки, запахи, товарищи – исчезло. Здание росло у него на глазах. Читая быстро, он поймал себя на мысли, что угадывает, знает заранее, что будет дальше. Многие теоремы он предвидел и только просматривал чертежи в подтверждение своих мыслей»*.

В изумительной книге Розы Петер «Игра с бесконечностью» есть такие проникновенные строки: «Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но также и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хотите, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика в состоянии справиться даже с самой увлекательной игрой – сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно даже вообразить. И в то же время она поразительно человечна и меньше всего похожа на пресловутое «дважды два – четыре»: математика несёт на себе печать никогда не кончающейся человеческой деятельности».

Работа с оригинальной, необычной, интересной задачей – важнейшая особенность в деятельности учителя математики.

Мне на всю жизнь запомнились мудрые слова академика А. И. Маркушевича: «Мы только тогда выполним свой долг перед молодым поколением, когда сумеем на своих уроках донести до ребят то безграничное мужество, любовь к людям и жертвенность, которые скрываются за скупыми строчками научных законов, формул и теорем».

Пособие условно можно разделить на 2 части. В первой части рассматриваются задачи, которые собраны по темам: «Натуральные числа», «Ума палата», «Уравнения и системы уравнений», «Текстовые задачи», «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функции и графики», «Геометрические задачи», «Задачи с параметром». Во второй части предложены ответы, указания и решения.

Обучающиеся найдут для себя богатый и разнообразный материал для подготовки к итоговой аттестации, познакомятся с наиболее важными идеями и методами, заложенными в решении нестандартных задачах, а учитель может использовать наборы задач в своей работе: при подготовке к ГИА, олимпиадам и конкурсам. Важно при этом, чтобы эта работа велась регулярно, продуманно, систематически, заинтересованно и увлечённо.