Конспект лекций по высшей математике. В 2-х частях. Часть 1. Тридцать пять лекций

Подробное описание

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую матема­тику. Оно представляет собой конспект лекций в 2 частях. Первая часть адресована, в основном, первокурсникам. Набор освещаемых вопросов хо­рошо виден из оглавления.

Данный конспект содержит необходимый материал по девяти разде­лам курса высшей математики. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества приме­ров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.

Пособие может быть использовано студентами также для самостоя­тельного изучения соответствующего материала, является базой для под­готовки к семестровым экзаменам по высшей математике на 1-м курсе.

Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много факти­ческого материала, который следует изучить за ограниченное количество недель, дней.

Автор надеется, что данное пособие будет способствовать более глубо­кому изучению студентами курса высшей математики.

Содержание

Предисловие    9

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Матрицы    10

Основные понятия    10

Действия над матрицами    11

§ 2. Определители    14

Основные понятия    14

Свойства определителей    15

§ 3. Невырожденные матрицы    18

Основные понятия    18

Обратная матрица    18

Ранг матрицы    20

§ 4. Системы линейных уравнений    22

Основные понятия    22

Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронеке-ра-Капелли    23

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Кра­мера     25

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса    26

Системы линейных однородных уравнений    29

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 5. Векторы    31

Основные понятия    31

Линейные операции над векторами    32

Проекция вектора на ось    33

Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора.

Направляющие косинусы    35

Действия над векторами, заданными проекциями    37

§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства    38

Определение скалярного произведения    38

Свойства скалярного произведения    38

Выражение скалярного произведения через координаты...    39

Некоторые приложения скалярного произведения    40

§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства    41

Определение векторного произведения    41

Свойства векторного произведения    42

Выражение векторного произведения через координаты ...    43

Некоторые приложения векторного произведения    44

§ 8. Смешанное произведение векторов    45

Определение смешанного произведения, его геометриче­ский смысл    45

Свойства смешанного произведения    45

Выражение смешанного произведения через координаты ..    46

Некоторые приложения смешанного произведения    47

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

§ 9. Система координат на плоскости    48

Основные понятия    48

Основные приложения метода координат на плоскости ....    49

Преобразование системы координат    51

§ 10. Линии на плоскости    53

Основные понятия    53

Уравнения прямой на плоскости    56

Прямая линия на плоскости. Основные задачи    61

§ 11. Линии второго порядка на плоскости    62

Основные понятия    62

Окружность    62

Эллипс    64

Гипербола    66

Парабола    70

Общее уравнение линий второго порядка    72

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 12. Уравнения поверхности и линии в пространстве    76

Основные понятия    76

Уравнения плоскости в пространстве    78

Плоскость. Основные задачи    81

Уравнения прямой в пространстве    82

Прямая линия в пространстве. Основные задачи    85

Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи    86

Цилиндрические поверхности    88

Поверхности вращения. Конические поверхности    89

Канонические уравнения поверхностей второго порядка...    91

Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§ 13. Множества. Действительные числа    97

Основные понятия    97

Числовые множества. Множество действительных чисел ..    98

Числовые промежутки. Окрестность точки    99

§ 14. Функция    100

Понятие функции    100

Числовые функции. График функции. Способы задания функций    101

Основные характеристики функции    102

Обратная функция    103

Сложная функция    104

Основные элементарные функции и их графики    104

§ 15. Последовательности    107

Числовая последовательность    107

Предел числовой последовательности    108

Предельный переход в неравенствах    109

Предел монотонной ограниченной последовательности.

Число е. Натуральные логарифмы    110

§ 16. Предел функции    112

Предел функции в точке    112

Односторонние пределы    113

Предел функции при х → ∞    114

Бесконечно большая функция (б.б.ф.)    114

§ 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)    115

Определения и основные теоремы    115

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией    118

Основные теоремы о пределах    119

Признаки существования пределов    121

Первый замечательный предел    123

Второй замечательный предел    124

§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции    125

Сравнение бесконечно малых функций    125

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них    126

Применение эквивалентных бесконечно малых функций...    127

§ 19. Непрерывность функций    130

Непрерывность функции в точке    130

Непрерывность функции в интервале и на отрезке    132

Точки разрыва функции и их классификация    132

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерыв­ность элементарных функций    134

Свойства функций, непрерывных на отрезке    135

§ 20. Производная функции    137

Задачи, приводящие к понятию производной    137

Определение производной; ее механический и геометричес­кий смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой...    139

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции    141

Производная суммы, разности, произведения и частного функций    142

Производная сложной и обратной функций    143

Производные основных элементарных функций    145

Гиперболические функции и их производные    149

Таблица производных    151

§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций    152

Неявно заданная функция    152

Функция, заданная параметрически    153

§ 22. Логарифмическое дифференцирование    154

§ 23. Производные высших порядков    155

Производные высших порядков явно заданной функции ...    155

Механический смысл производной второго порядка    156

Производные высших порядков неявно заданной функции.    156

Производные высших порядков от функций, заданных па­раметрически     156

§ 24. Дифференциал функции    157

Понятие дифференциала функции    157

Геометрический смысл дифференциала функции    159

Основные теоремы о дифференциалах    159

Таблица дифференциалов    160

Применение дифференциала к приближенным вычислени­ям     161

Дифференциалы высших порядков    162

§ 25. Исследование функций при помощи производных    164

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях    164

Правила Лопиталя    167

Возрастание и убывание функций    171

Максимум и минимум функций    172

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке..    175

Выпуклость графика функции. Точки перегиба    176

Асимптоты графика функции    178

Общая схема исследования функции и построения графи­ка     180

§ 26. Формула Тейлора    181

Формула Тейлора для многочлена    182

Формула Тейлора для произвольной функции    183

Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 27. Понятие и представления комплексных чисел    186

Основные понятия    186

Геометрическое изображение комплексных чисел    186

Формы записи комплексных чисел    187

§ 28. Действия над комплексными числами    188

Сложение комплексных чисел    188

Вычитание комплексных чисел    189

Умножение комплексных чисел    189

Деление комплексных чисел    190

Извлечение корней из комплексных чисел    191

Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 29. Неопределенный интеграл    193

Понятие неопределенного интеграла    193

Свойства неопределенного интеграла    194

Таблица основных неопределенных интегралов    196

§ 30. Основные методы интегрирования    198

Метод непосредственного интегрирования    198

Метод интегрирования подстановкой (заменой перемен­ной)     200

Метод интегрирования по частям    202

§ 31. Интегрирование рациональных функций    203

Понятия о рациональных функциях    203

Интегрирование простейших рациональных дробей    208

Интегрирование рациональных дробей    210

§ 32. Интегрирование тригонометрических функций    212

Универсальная тригонометрическая подстановка    212

Интегралы типа ∫ sinⁿ х • cosⁿ x dx    213

Использование тригонометрических преобразований    214

§ 33. Интегрирование иррациональных функций    214

Квадратичные иррациональности    214

Дробно-линейная подстановка    216

Тригонометрическая подстановка    217

Интегралы типа ∫ R(x; dx    218

Интегрирование дифференциального бинома    218

§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы    219

Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы    221

§ 36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла    222

§ 37. Формула Ньютона-Лейбница    224

§ 38. Основные свойства определенного интеграла    226

§ 39. Вычисления определенного интеграла    230

Формула Ньютона-Лейбница    230

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)    230

Интегрирование по частям    231

Интегрирование четных и нечетных функций в симметрич­ных пределах    233

§ 40. Несобственные интегралы    233

Интеграл с бесконечным промежутком

интегрирования (несобственный интеграл I рода)    234

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл Ирода)    236

§ 41. Геометрические и физические приложения определенного ин­теграла     237

Схемы применения определенного интеграла    237

Вычисление площадей плоских фигур    240

Вычисление длины дуги плоской кривой    243

Вычисление объема тела    246

Вычисление площади поверхности вращения    248

Механические приложения определенного интеграла    250

§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла    255

Формула прямоугольников    256

Формула трапеций    256

Формула парабол (Симпсона)    257

Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 43. Функции двух переменных    261

Основные понятия    261

Предел функции    262

Непрерывность функции двух переменных    263

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну­той области    264

§ 44. Производные и дифференциалы функции нескольких перемен­ных     264

Частные производные первого порядка и их геометриче­ский смысл    264

Частные производные высших порядков    266

Дифференцируемость и полный дифференциал функции..    267

Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям    269

Дифференциалы высших порядков    269

Производная сложной функции. Полная производная    270

Инвариантность формы полного дифференциала    272

Дифференцирование неявной функции    272

§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности    274

§ 46. Экстремум функции двух переменных    275

Основные понятия    275

Необходимые и достаточные условия экстремума    276

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области    278

Справочные материалы    280