Геометрия. 10-11 классы: задания на готовых чертежах по стереометрии

Подробное описание

предисловие

В этой книге подобраны 900 задач по стереометрии, предназначенные в первую очередь для организации устной работы обучающихся.

Последовательность и тематика подборок задач соответствует учебнику по геометрии Л. С. Атанасяна и др. Однако материал сборника может быть использован и при работе с другими учебниками. Каждая тема представлена двенадцатью задачами, расположенными в порядке возрастания трудности. Учитель может выбрать те или иные задачи в зависимости от дидактической цели урока и уровня подготовленности обучающихся класса.

С первых уроков стереометрии актуальна проблема построения плоских чертежей пространственных фигур. Частично решить ее помогут задачи на готовых чертежах. При их использовании обучающиеся видят примеры изображений пространственных фигур, учатся «читать» плоские чертежи пространственных объектов, находить ошибки в предложенных чертежах.

Задачи по готовым чертежам способствуют активизации мыслительной деятельности обучающихся. Обучают их умению грамотно рассуждать, доказывать. Задачи указанного типа оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. При их решении обучающиеся не только проговаривают теоретические положения, но и запоминают методы рассуждений.

При решении вычислительной задачи готовый чертеж служит опорой для восприятия и помогает обучающимся провести анализ условия, открыть способ решения.

Для обучающихся очень важно держать в «уме» всю задачу. Это развивает внимание, память, умение концентрироваться.

Наличие готового чертежа позволяет решить на уроке большее количество задач по стереометрии,  в результате чего обучающиеся учатся сопоставлять, противопоставлять, находить общее в задачах и видеть различия, выводить обобщение.

Задачи на готовых чертежах позволяют учителю поддерживать высокий темп работы обучающихся на уроке, предупреждать их типичные ошибки. Использование указанных задач призвано помочь обучающимся на следующем этапе урока, когда необходимо самим построить чертеж по условию задачи.

Устная работа по стереометрии направлена и на совершенствование вычислительных навыков обучающихся. Гордиться, что обучающиеся знают теорему Пифагора, надо в 8 классе, а старшеклассники должны решать прямоугольный треугольник устно. Задачи, предлагаемые в сборнике, «хорошо» считаются, при условии, что ученики знают пифагоровы тройки, соотношения в равностороннем треугольнике и т. д. Успешность в решении вычислительных задач по готовым чертежам в первую очередь зависит от систематичности их использования на уроках. Начинать эту работу необходимо еще на уроках планиметрии.

В зависимости от уровня подготовленности класса можно фиксировать в тетради промежуточные вычисления, постепенно сокращая их количество. Материалы сборника можно использовать  для проведения самостоятельных работ, в качестве домашнего задания.

Для организации устной работы учитель может заранее по своему усмотрению подготовить чертежи на доске, но лучше использовать данных сборник как дидактический раздаточный материал (один сборник на парту).

Автор искренне надеется, что данное пособие поможет учителям в совершенствовании методики преподавания геометрии. Желаю успехов в организации устной работы по стереометрии с использованием данного сборника.

Доктор педагогических наук, директор центра математического образования ВГАПО, профессор кафедры методики преподавания математики, физики, ИКТ факультета математики, информатики и физики ВГСПУ, заслуженный работник образования Волгоградской области, Ковалева Галина Ивановна.

Содержание

Предисловие    3

10 класс    5

Тема: Способы задания плоскости  в пространстве    5

Тема: Аксиомы стереометрии  и следствия из них    7

Тема: Ошибки в изображении    11

Тема: Лемма о параллельных прямых    13

Тема: Параллельность прямой и плоскости. Параллельность прямых в пространстве    15

Тема: Скрещивающиеся прямые    17

Тема: Углы с сонаправленными сторонами    19

Тема: Параллельность плоскостей    22

Тема: Прямая, перпендикулярная плоскости. Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости    24

Тема: Признак перпендикулярности прямой  и плоскости    26

Тема: Перпендикулярность прямой  и плоскости    28

Тема: Перпендикуляр и наклонная    30

Тема: Перпендикуляр и наклонная    32

Тема: Теорема о трех перпендикулярах    34

Тема: Угол между прямой и плоскостью    36

Тема: Расстояние от точки до прямой    38

Тема: Правильная треугольная призма    40

Тема: Правильная четырехугольная призма    42

Тема: Правильная шестиугольная призма    44

Тема: Прямая призма    46

Тема: Прямой параллелепипед    48

Тема: Прямоугольный параллелепипед    50

Тема: Наклонная призма.  Задачи на доказательство    52

Тема: Наклонная призма (Sбок = Р^сеч · l)    54

Тема: Куб    56

Тема: Правильная пирамида.  Задачи на доказательство    58

Тема: Правильная треугольная пирамида    60

Тема: Правильная треугольная пирамида. Площадь боковой поверхности    62

Тема: Правильная четырехугольная пирамида    64

Тема: Правильная шестиугольная пирамида    66

Тема: Неправильная пирамида    68

Тема: Пирамида, у которой одно из боковых ребер перпендикулярно основанию    71

Тема: Пирамида, около основания которой описана окружность    73

Тема: Пирамида, в основание которой вписана окружность    75

Тема: Сечения куба    78

Тема: Сечения в пирамиде.  Усеченная пирамида    80

Тема: Понятия вектора в пространстве    83

Тема: Сложение и вычитание векторов    87

Тема: Умножение вектора на число    90

Тема: Компланарные векторы    93

11 класс    96

Тема: Прямоугольная система координат  в пространстве    96

Тема: Нахождение координат вершин многогранников    98

Тема: Угол между векторами    101

Тема: Цилиндр    104

Тема: Площадь боковой поверхности цилиндра    106

Тема: Конус    108

Тема: Вписанный или описанный конус    110

Тема: Усеченный конус    112

Тема: Сфера    114

Тема: Площадь поверхности сферы    116

Тема: Сфера, вписанная в пирамиду    119

Тема: Сфера, описанная около пирамиды    121

Тема: Сфера, вписанная в призму    123

Тема: Сфера, описанная около призмы    125

Тема: Объем прямоугольного параллелепипеда    127

Тема: Объем прямого параллелепипеда    129

Тема: Объем прямой треугольной призмы    131

Тема: Объем правильной треугольной призмы    133

Тема: Объем правильной четырехугольной призмы    135

Тема: Объем правильной шестиугольной призмы    137

Тема: Объем цилиндра    139

Тема: Объем наклонной призмы (V = Sосн · H)    141

Тема: Объем наклонной призмы (V = S^сеч · l)    143

Тема: Объем правильной треугольной пирамиды    145

Тема: Объем правильной четырехугольной пирамиды    147

Тема: Объем правильной шестиугольной пирамиды    149

Тема: Объем пирамиды, в основание которой можно вписать окружность    151

Тема: Объем пирамиды, около основания которой можно описать окружность    154

Тема: Объем пирамиды, у которой одно из боковых ребер перпедикулярно плоскости основания    157

Тема: Объем пирамиды с гранью, перпендикулярной основанию    159

Тема: Объем усеченной пирамиды    161

Тема: Объем конуса    164

Тема: Объем вписанного  или описанного конуса    166

Тема: Объем усеченного конуса    168

Тема: Объем усеченного конуса    170

Тема: Площадь сферы    172

Тема: Объем шара    174

Ответы    176

Литература    193