Математика. 10-11 классы. Пределы и производные: теория и практика решения задач

Подробное описание

ВВЕДЕНИЕ

В школьном курсе математики затрагивается много таких вопросов, полное решение которых выходит за рамки самой элементарной математики. Эти вопросы находят свое завершение и разрешение на современном научном уровне лишь в математическом анализе.

Настоящее пособие написано в соответствии с программой среднего (полного) общего образования по математике для профильных классов, лицеев и гимназий.

Методика изложения материала в пособии определяется, прежде всего, тем, что это пособие предназначено для учащихся, не имеющих пока среднего образования, а потому не готовых к полноценному усвоению математического анализа в традиционном изложении. Поэтому автор активно использовал геометрические иллюстрации. Кроме того, для объяснения некоторых тем не ставилась цель доказать именно все утверждения.

Отметим, что имеется ряд учебных алгоритмов, представляющих собой ориентировочную основу действий для решения того или иного круга задач; в каждом пункте приводится достаточно большое число примеров с подробными решениями, поэтому оно представляет возможную схему изучения указанной темы. Разработано семь лекций, посвященных пределу функции, непрерывности функции в точке и на множестве; доказан первый замечательный предел; обосновано решение неравенств методом интервалов и применение асимптот (в том числе и наклонных асимптот) к построению графиков элементарными методами.

Весь теоретический и практический материал пособия по теме «Производная» расположен в разделах 3–4.

Определение производной, непрерывность и дифференцируемость функции, правила дифференцирования опираются на понятие предела функции. Доказаны соответствующие теоремы, тщательно проработано понятие сложной функции и приведено доказательство теоремы о ее производной.

В п. 3.7 приведено определение касательной к графику функции с использованием предельного положения секущей: вводится понятие угла между кривыми. В п. 3.8 приведены примеры б физических процессов, опирающихся на физический смысл производной. В п. 4.3 произведена классификация функций, имеющих (не имеющих) экстремумы в зависимости от производной в точке х0. В п. 4.5 разработан алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале, в п. 4.6 – алгоритм решения задач на оптимизацию, в том числе геометрических. Пункт 4.8 содержит исследование функции на выпуклость (вогнутость), точки перегиба с приведением алгоритма решения.

Тема «Уравнение касательной» тщательно разработана и представлена системой ключевых задач с решением всех 14 задач, в том числе и нестандартных.

Введение определений и доказательство всех теорем сопровождаются достаточным количеством геометрических иллюстраций.

В теоретическом материале приводится большое число примеров с подробными решениями, в их числе – задачи, предлагавшиеся на едином государственном экзамене, начиная с 2004 года.

Содержание

Введение    3

1. Пределы

1.1. Предел функции в точке и на бесконечности    5

1.2. Основные теоремы о пределах    12

1.3. Первый и второй замечательный пределы    15

1.4. Основные приемы раскрытия неопределенностей    19

2. Непрерывные и разрывные функции

2.1. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва функций и их классификация    26

2.2. Свойства непрерывной функции. Метод интервалов    31

2.3. Асимптоты графика функции    35

3. Дифференцирование функции одной переменной

3.1. Производная. Нахождение производных по определению    40

3.2. Дифференцируемость функции и непрерывность    45

3.3. Правила дифференцирования    48

3.4. Производная сложной функции    51

3.5. Дифференцирование тригонометрических функций    53

3.6. Дифференцирование обратных тригонометрических функций    55

3.7. Производная и касательная    57

3.8. Физический смысл производной    67

4. Исследование функций с помощью производных

4.1. Критические точки функции    70

4.2. Возрастание и убывание функции    74

4.3. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции    79

4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке    91

4.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на интервале    95

4.6. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин    99

4.7. Общая схема исследования свойств функции и построение ее графика    108

4.8. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба функции    116

5. Ключевые задачи по теме «Уравнения касательной»

5.1. Уравнение касательной (теория)    129

5.2. Задача, связанная с определением того, является ли прямая y = kx + b касательной к графику функции у = f(x)    131

5.3. Задача нахождения угла между графиками функцийy = f(x) и y = g(x) в точке их пересечения    131

5.4. Задача составления уравнения всех касательных к графику функции у = f(x), проходящих через данную точку М(хо,уо), не лежащую на графике    133

5.5. Задача составления уравнения всех касательных к графику функции f(x), проходящих через данную точку М(хо,уо), исследование решения    134

5.6. Задача нахождения общей касательной к графикам функций y = f(x) и y = g(x) в их общей точке    136

5.7. Задача нахождения всех общих касательных к графикам функций у = f(x) и у =g(x)    137

5.8. Задача нахождения всех общих касательных к графикам квадратичных функций f(х) и g(x)    138

5.9. Задача составления уравнения параболы вида у = –х2 +рх + q, касающейся параболы у = х2 – 6х + 5 в точке с абсциссой х = 2    139

5.10. Задача нахождения геометрического места вершин всех парабол вида у = х2 + ах + b, касающихся прямой у = 4х –1    140

5.11. Задача нахождения геометрического места вершин всех парабол вида у = –х2 + ах + Ь, касающихся параболы у = х2    141

5.12. Задача нахождения всех точек плоскости, через которые проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции у = х2    143

5.13. Задача о нахождении расстояния между касательными к графику функции , образующими с положительным направлением оси абсцисс угол 45°    144

5.14. Задача о нахождении кратчайшего расстояния между графиком функции у = f(x) и прямой у = kx + b    145

Литература    149